# 抽象代数：写像が保つ演算を明示する — 学習ワークシート

[学習ガイド](https://unireadinglist.com/ja/guides/abstract-algebra/)

[科目・テーマ: 抽象代数](https://unireadinglist.com/ja/subjects/mathematics/#course-abstract-algebra)

出典確認日: 2026-11-04

学習順路・例題の編集責任：University Reading List編集プロジェクト。

巡回群、準同型、核、商群を証明する経路と、環の積を加える追試。Judson は2026年年次版、Pinter はDover第2版復刊、Carter は視覚的群論の選択AMS復刊を指す。Carter は群の部分を支え、環全体には広い教材を使う。

## 出発点を選ぶ

- [ ] 無料で群から環へ進みたい
  Judson の厳密な学部課程を選び、計算例と後半の環・体を使う。

- [ ] 短い段階で証明を練習したい
  小章と順序付き演習で学校代数から移るなら Pinter。

- [ ] 群の構造を見たい
  Carter のケイリー図、商と準同型の図を使い、環には通常の教材を補う。

## 三冊を比較する

### Abstract Algebra: Theory and Applications（抽象代数学：理論と応用）

Thomas W. Judson · 2026
無料の主教材、証明を重視

選ぶ場面: 集合・関数・短い証明を使え、群の先まで学びたいとき。
別の教材が適する場面: 対称性の図だけがほしい、または計算が証明を代替すると考えるとき。
読む範囲: 群、巡回群、準同型、剰余群から、環と環準同型へ。
限界と注意点: 広い範囲とSage活動は入口を増やすが、実験と証明を区別する。

#### 選ぶ前に試す

Z/12からZ/8への\[k\]↦\[2k\]で、同じ入力類の代表元を変える。
確認すること: kをk+12に変えると出力差24は8の倍数なので、写像は定まる。

自分のメモ:

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ISBN: 9781944325213

[公式の無料教材](https://judsonbooks.org/abstract-algebra-theory-and-applications/)

[書誌情報と入手方法](https://unireadinglist.com/ja/subjects/mathematics/abstract-algebra-theory-and-applications/)

### 抽象代数学の本

Charles C. Pinter · 2 · 2010
小刻みな入門

選ぶ場面: 演習系列を通じて論証を組み立てたいとき。
別の教材が適する場面: 大学院の包括的参考書や公開の全問解答が必要なとき。
読む範囲: 選択第2版の演算、準同型、正規部分群・商、その後の環。
限界と注意点: 重要な結果が演習で発展するため、省くと必要な証明も失いうる。

#### 選ぶ前に試す

核を列挙し、像が同じことと差が核に入ることの同値を示す。
確認すること: 核は\{0,4,8\}。各ファイバーはその剰余類で、任意の三要素集合ではない。

自分のメモ:

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ISBN: 978-0-486-47417-5

[書誌情報と入手方法](https://unireadinglist.com/ja/subjects/mathematics/a-book-of-abstract-algebra/)

### Visual Group Theory（ビジュアル群論）

Nathan Carter · 2021
視覚的な群論

選ぶ場面: 作用やケイリー図で商を具体化したいとき。
別の教材が適する場面: すぐ環・イデアル・加群を全体的に学ぶ必要があるとき。
読む範囲: Subgroups、Products and quotients、The power of homomorphisms。まず導入図を使う。
限界と注意点: 図で例を蓄えられるが、群の図の対応は追加した環の積まで保証しない。

#### 選ぶ前に試す

例題の四つのファイバーと共通の出力を描く。
確認すること: 大きさ3の集合が四つあり、0,2,4,6へ写る。演算を保つかは別に確認する。

自分のメモ:

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ISBN: 9781470464332

[書誌情報と入手方法](https://unireadinglist.com/ja/subjects/mathematics/visual-group-theory/)

## 準備を確認する

### 整数と剰余類を区別できるか

自分のメモ:

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### 保つ演算は何か

自分のメモ:

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### 像への同型とは何か

自分のメモ:

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## 六つのステップで学ぶ

- [ ] 対象を定める

読む範囲: 集合・関数と合同算術。

取り組む課題: 定義域、終域、異なる法の加法を書く。

確認すること: 入力と出力の同値関係を混ぜない。

自分のメモ:

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- [ ] 代表元への非依存を証明

読む範囲: 準同型。

取り組む課題: kをk+12mへ変え、出力類が変わらないと示す。

確認すること: 任意の整数mを扱う。

自分のメモ:

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- [ ] 核と像を求める

読む範囲: 巡回群と核。

取り組む課題: 十二入力を列挙し、整除条件でも説明する。

確認すること: 核3、像4で全十二要素を説明する。

自分のメモ:

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- [ ] 商写像を作る

読む範囲: 剰余群と同型定理。

取り組む課題: 四剰余類と像を書き、誘導写像の加法性と全単射を確かめる。

確認すること: 加法群の結果であり、積は未証明。

自分のメモ:

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- [ ] 要求構造を変える

読む範囲: 環と追試。

取り組む課題: 一組の積を検査し、像の単位元を調べる。

確認すること: 積について閉じるだけでは写像は環準同型にならない。

自分のメモ:

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- [ ] 定理を正確に述べる

読む範囲: 二つの解答。

取り組む課題: 曖昧な「同じ構造」を、正しい群同型と失敗する強い主張に置き換える。

確認すること: 定義域、像、演算、核を明記する。

自分のメモ:

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## 解答付きの例題: 入力と出力の法が違う商の式

加法群の写像phi:Z/12→Z/8をphi(\[k\]12)=\[2k\]8で定める。代表元によらないことと加法性を証明し、核・像・誘導される商群同型を求めよ。

前提: 有限加法群で正確に計算する。角括弧の添字は法を示す。主例では積の保存を仮定しない。

自分のメモ:

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## 前提を変えて考える: 環の積を加えると検査が変わる

集合と式を保ち、通常の法12・法8の環の積も用いる。1の保存を要求しなくてもphiは環準同型か。偶数剰余類の像は積で閉じ、乗法単位元を持つか。

自分のメモ:

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## 次に進む前に

- 剰余類の式が正しく定まると証明する。
- 商群の誘導写像を構成し検証する。
- 不当な環の主張へ具体的反例を与える。

## 解答と解釈

### 整数と剰余類を区別できるか

Z/12の\[k\]には多くの代表元がある。どの代表元からも同じ出力類にならねばならない。

### 保つ演算は何か

群では加法の準同型式。環では積も検査し、1を保つ規約かも明示する。

### 像への同型とは何か

核で割った後の、全単射かつ演算を保つ写像。主例の対象は群である。

### 入力と出力の法が違う商の式

1. k′=k+12mなら2k′−2k=24mは8の倍数で、出力類は同じ。phi(\[a+b\])=\[2a+2b\]=phi(\[a\])+phi(\[b\])。
2. 2k≡0 mod8はk≡0 mod4と同値。Z/12の核は\{0,4,8\}、像は法8の加法を持つ\{0,2,4,6\}。
3. 剰余類\{0,4,8\},\{1,5,9\},\{2,6,10\},\{3,7,11\}は順に0,2,4,6へ写る。像ごとに一剰余類なので、(Z/12)/ker(phi)→im(phi)は加法的な全単射。

代表元によらない加法準同型。核\{0,4,8\}、像\{0,2,4,6\}、誘導商群は位数4で像と同型。

結果を検証する: 12=3·4。\[1\]12と\[13\]12は同じ\[2\]8へ写る。元写像は単射ではなく、商からの誘導写像が単射になる。

### 前提を変えて考える: 環の積を加えると検査が変わる

1. a=b=\[1\]12ならphi(ab)=\[2\]8だが、phi(a)phi(b)=\[4\]8。積を保たないので、単位元を要求しない規約でも環準同型ではない。
2. 偶数剰余類は法8の加法と積で閉じ、単位元を要求しない意味で部分環になる。閉性は集合の性質で、phiの積保存ではない。
3. 偶数類eが像の単位元なら2e≡2 mod8、すなわちe≡1 mod4が必要で、eは奇数となり矛盾。乗法単位元はない。

加法の結論は保たれるがphiは環準同型ではない。像は積で閉じても単位元を持たず、先の群同型は環同型の証明ではない。

結果を検証する: 核\{0,4,8\}はZ/12のイデアルでもあるが、積保存の失敗は直らない。商定理を使う前に写像の仮定を確かめる。

## よくある誤り

### 表だけで代表元を検査

表は発見を助けるが、代表元への非依存は全代表元について証明する。

### 演算を忘れる

準同型・同型には対象と演算の指定が要る。

### 閉性と保存を混同

像が閉じていても選んだ写像が積を保つとは限らない。

## 出典と版の確認

- [Judson: official annual editions and free text](https://judsonbooks.org/abstract-algebra-theory-and-applications/)
  著者は年次版とオンライン更新を区別し、群と後半の環・体を分ける。

- [Dover: selected second-edition reprint](https://store.doverpublications.com/products/9780486474175)
  選択Dover第2版は短章と演習系列による入門を支える。

- [MAA publisher-hosted contents: visual group theory](https://www.jstor.org/stable/10.4169/j.ctt5hh9nr)
  出版社側の目次は視覚的な群・商・準同型を示し、環全体の課程ではない。

提案する学習活動であり、公式の課題や全巻通読の主張ではありません。

[編集と選定の方法](https://unireadinglist.com/ja/editorial/)