# 形式論理：教材を選び、量化の主張を検証する — 学習ワークシート

[学習ガイド](https://unireadinglist.com/ja/guides/formal-logic/)

[科目・テーマ: 論理学](https://unireadinglist.com/ja/subjects/philosophy/#course-logic)

出典確認日: 2026-11-03

学習順路・例題の編集責任：University Reading List編集プロジェクト。

古典命題論理と一階論理の入門です。forall x: Calgary Fall 2023、Copiほか第15版（2019）、Language, Proof and Logic第2版（2011）を比較します。forallxの無料サイトは改訂されるため、章の対応は固定したF23ソースに基づきます。様相論理、帰納法、メタ理論は後の選択肢で、例題の前提ではありません。

## 出発点を選ぶ

- [ ] 無料で証明とモデルを学びたい
  forallxを選び、作業用ファイルを保存して改訂番号を記録します。版が違うと問題番号や規則名がずれます。以下のFall 2023の部・章題を手元の版と照合してください。

- [ ] 日常の論証も学びたい
  定義、誤謬、三段論法、帰納も扱う授業ならCopiを選びます。一階論理の証明を始めるために全範囲が必要なわけではなく、指定に合わせて記号論理の章を選びます。

- [ ] 世界を作って確かめたい
  モデル構築や証明ソフトを継続して使い、利用権を確認できるならLPLです。中古紙本だけでは登録キーが使えない場合があります。本ガイドの課題は無料経路でも完結します。

## 三冊を比較する

### forall x: Calgary. An Introduction to Formal Logic（forall x カルガリー版：形式論理学入門）

P. D. Magnus; Tim Button; Robert Trueman; Richard Zach; with contributions by J. Robert Loftis and Aaron Thomas-Bolduc · Fall 2023 · 2023
無料の形式論理入門

選ぶ場面: 真理表、解釈、フィッチ式自然演繹を一つの公開教材で学ぶとき。
別の教材が適する場面: 評価で別体系が指定され、規則の対応を調整できないとき。
読む範囲: Fall 2023の第I〜VII部を中心にし、様相論理とメタ理論は後回しにします。
限界と注意点: 著者サイトの現行無料版、現在推奨の紙本、登録済みのFall 2023紙本は別です。改訂版を同一視せず版を固定します。

#### 選ぶ前に試す

選定したFall 2023版のFOL解釈を使い、「各参加者には審査者がいる」と「全参加者を審査する一人がいる」を記号化します。証明の前に参加者二人の解釈を作ってください。
確認すること: 量化子の順序を二通り書き、真となる担当関係を列挙します。自然な言い換えより、二文を分けるモデルを重視し、同版の記法を使います。

自分のメモ:

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ISBN: 9798859963584

[公式の無料教材](https://forallx.openlogicproject.org/)

[書誌情報と入手方法](https://unireadinglist.com/ja/subjects/philosophy/forall-x-calgary/)

### Introduction to Logic（論理学入門）

Irving M. Copi; Carl Cohen; Victor Rodych · 15 · 2019
広い推論の参考書

選ぶ場面: 非形式的論証や伝統的な定言論理も必要なとき。
別の教材が適する場面: 真理表から一階自然演繹まで最短で進みたいとき。
読む範囲: 第15版第1〜2章で論証を整理し、第8〜10章で記号論理を学びます。
限界と注意点: 範囲が広い分、重点も異なります。演繹の規則をフィッチ式の課題へ無表示で混ぜず、対応を説明してください。

#### 選ぶ前に試す

第15版8–10章の後、A → BとB → A、¬B → ¬Aを一つの真理表で比べます。偽の文だけでなく不当な推論を特定してください。
確認すること: 四つの付値をすべて示します。Aが偽、Bが真なら逆向きの推論は反証されますが、対偶の真理値はA → Bと一致します。

自分のメモ:

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ISBN: 9781138500860

[書誌情報と入手方法](https://unireadinglist.com/ja/subjects/philosophy/introduction-to-logic-copi/)

### Language, Proof and Logic（言語・証明・論理）

Dave Barker-Plummer; Jon Barwise; John Etchemendy · 2 · 2011
対話型の一階論理教材

選ぶ場面: 具体的世界や証明を試す機能が役立ち、授業がパッケージを使うとき。
別の教材が適する場面: 無料で制限なく使いたいときや、中古の登録権が譲渡可能と思っているとき。
読む範囲: 第2版第1〜8章が命題論理、第9〜14章が量化と証明です。
限界と注意点: 9781575866321は紙本パッケージ。電子版ISBNは別です。旧CDの説明から推測せず、現在のウェブアプリと譲渡不可のキーを確認します。

#### 選ぶ前に試す

第2版の量化と証明の範囲を使い、存在量化の証人を置く短い部分証明に注記します。どの名前が一時的で、どの結論を外へ出せるでしょうか。ソフトへのアクセスがなければ紙で行います。
確認すること: 外に出す結論に仮の証人名を残さず、その名を外部の未解消の仮定にも置きません。ソフトの正解表示だけでなく、この条件を説明します。

自分のメモ:

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ISBN: 9781575866321

[書誌情報と入手方法](https://unireadinglist.com/ja/subjects/philosophy/language-proof-and-logic/)

## 準備を確認する

### 代数を知っている必要は？

自分のメモ:

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### ノートではどの記法を使う？

自分のメモ:

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### 非妥当性をどう検証する？

自分のメモ:

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## 成果物を作る六つの段階

- [ ] 1. 論証と真偽を分ける

読む範囲: forallx Fall 2023第I部Arguments、The scope of logic。別案はCopi第15版第1章。

作るもの: 同じ形式で題材の異なる論証を二つ書き、前提、結論、事実に関する仮定を示します。

確認すること: 妥当性と前提の実際の真偽を区別し、偽の文を非妥当な論証と呼ばない。

自分のメモ:

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- [ ] 2. 曖昧さを見える形で記号化

読む範囲: forallx Fall 2023第II部のFirst steps to symbolization、Ambiguity。比較用にLPL第2版第3・7章。

作るもの: 曖昧な一文に二つの読みと対応表を与え、両者が異なる場合を記述します。

確認すること: 各文字の解釈が固定され、主結合子が括弧から分かる。

自分のメモ:

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- [ ] 3. 結論が偽になる行を探す

読む範囲: forallx Fall 2023第III部Complete truth tables、Semantic concepts。Copi第15版第8章も参照。

作るもの: 三つの文文字の真理表を完成させ、全前提が真の行だけを印して結論を確認します。

確認すること: 八行すべてを調べるか、正当な省略を説明し、現実の一行だけで済ませない。

自分のメモ:

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- [ ] 4. 証明の依存関係を示す

読む範囲: forallx Fall 2023第IV部Basic rules for TFL、Constructing proofs。任意でLPL第2版第5〜6章。

作るもの: 条件法の証明を書き、仮定を字下げし、各規則を示して部分証明を明示的に閉じます。

確認すること: 解除済み仮定への依存が規則に従い、ソフトの合格にも説明を添える。

自分のメモ:

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- [ ] 5. 量化子に領域を与える

読む範囲: forallx Fall 2023第V〜VI部Multiple generality、Using interpretations。LPL第2版第9〜11章もモデル練習に。

作るもの: 下の割当ての主張を記号化し、関係を矢印で描き、同じ有限領域で二つの量化順序を調べます。

確認すること: 各参加者に異なる証人がいても、共通の証人は保証されないと説明できる。

自分のメモ:

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- [ ] 6. 主張を修正して証明する

読む範囲: forallx Fall 2023第VII部Proofs with quantifiers、Proofs and semantics。LPL第2版第12〜13章も参照。

作るもの: 独自例題を解き、弱めた結論を選んだ体系で導き、一時的な証人の制限を示します。

確認すること: 反例モデルと証明が別の主張に答え、存在除去の証人名が最終文へ漏れ出さない。

自分のメモ:

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## 解答付きの例題: 各参加者に担当者がいれば、共通の担当者もいる？

P(x)は参加者、R(y)は審査者、T(y)は訓練済み、M(x,y)はxがyに割り当てられること。前提は∀x(P(x) → ∃y(R(y) ∧ M(x,y)))と∀y(R(y) → T(y))。∃y(T(y) ∧ ∀x(P(x) → M(x,y)))は従うでしょうか。従わなければ修正版∀x(P(x) → ∃y(T(y) ∧ M(x,y)))を調べます。

前提: 空でない領域を持つ古典一階論理を使い、量化を特定の種類に制限しません。P、R、Tはソートではなく述語です。架空の場面で、関係は列挙した順序対のみ。一意性、対称性などを追加しません。

自分のメモ:

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## 前提を変えて考える: 一意性があれば共通の審査者になるか

元の二前提と空でない古典論理の領域を保ちます。まず「各参加者に割り当てる審査者は高々一人」だけを追加します。共通審査者の結論は出るでしょうか。次に追加条件を「領域全体に審査者がちょうど一人いる」∃w(R(w) ∧ ∀y(R(y) → y = w))へ替え、参加者が空の場合も調べます。

自分のメモ:

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## 次に進む前に

- 領域と対応表付きの記号化、競合する読み、両者を区別する場合を提出する。
- 完全な真理表と、規則を明記し仮定を正しく解除した証明を作る。
- 反例モデルと全式の評価、証人の制限を示した修正論証を提出する。

## 解答と解釈

### 代数を知っている必要は？

高度な数学は不要ですが、再帰的定義を追い、記号とその指示対象を区別し、仮定を管理します。長い証明の前に括弧の読み方を練習してください。

### ノートではどの記法を使う？

¬、∧、∨、→、↔、∀、∃、領域、各述語の項数を一枚にまとめ、使う証明規則も載せます。記号の形が違うだけなら対応できますが、規則の制限の違いは確認が必要です。

### 非妥当性をどう検証する？

空でない領域と述語・関係の外延を示し、全前提が真、結論が偽であることを計算します。証明を見つけられないだけでは不十分ですが、検証済み反例モデル一つで非妥当性が示せます。

### 各参加者に担当者がいれば、共通の担当者もいる？

1. 領域を\{a,b,c,d\}、P = \{a,b\}、R = T = \{c,d\}、M = \{(a,c),(b,d)\}とします。aの担当がc、bの担当がdで、他の割当てはありません。
2. 第1前提は真です。aにはc、bにはdが証人となり、cとdではPが偽です。Rの全要素がTに含まれるため第2前提も真です。
3. 結論は偽です。aとbはTを満たしません。cはbの担当でなくM(b,c)が偽、dはaの担当でなくM(a,d)が偽です。全条件を満たす候補はいません。
4. 修正版には任意のuを取り、P(u)を仮定します。第1前提から∃y(R(y) ∧ M(u,y))。新しいvで存在除去の部分証明を開き、R(v) ∧ M(u,v)を仮定します。
5. 連言除去でR(v)とM(u,v)。第2前提の全称除去でR(v) → T(v)、条件法除去でT(v)。T(v) ∧ M(u,v)を作り、存在導入で∃y(T(y) ∧ M(u,y))を得ます。
6. 最後の式にvはないので存在除去を閉じ、P(u)を条件法導入で解除し、任意のuについて全称導入します。vは部分証明外の未解除前提に現れず、uは特定の参加者名ではありません。

共通審査者の結論は非妥当で、四対象の解釈が反例モデルです。修正版は妥当で、各参加者には訓練済み対象の担当が存在しますが、同じ対象である必要はありません。

結果を検証する: cだけでなく四候補すべてを再確認します。Pの外延が空なら、Tが空でも両前提は真になり得るので、「全員」から存在は導けません。有限の反例は元の結論を反駁しますが、修正版の妥当性は一般的導出によって示します。

### 前提を変えて考える: 一意性があれば共通の審査者になるか

1. 個人ごとの一意性では修復できません。元の四対象モデルは既に各参加者に一人ずつを割り当てていますが、その審査者は異なります。追加条件も真なのに共通の結論は偽です。
2. 全体での存在と一意性は強い条件です。その審査者wを取り、第二前提からT(w)を得ます。任意の参加者uには第一前提でM(u,v)を満たす審査者vがあり、一意性からv=wなのでM(u,w)です。
3. 同じ訓練済みwが全員に使えます。Pが空なら全称部分は空虚に真ですが、wとT(w)の存在は追加条件と第二前提が保証しています。

各参加者に高々一人では不十分、領域全体にちょうど一人なら元の前提と併せて十分です。「審査者は高々一人」だけなら、審査者も参加者もいない解釈が残り、存在結論は偽になります。

結果を検証する: 一対象領域でP=R=T=∅とし、存在を含まない条件への反例を示します。証人を使う前に、存在を保証する前提を指摘してください。

## よくある誤り

### ∀と∃を無断で交換する

∀x∃yの証人はxに依存できます。∃y∀xでは同じ対象が全xに対応します。等値を主張する前に矢印を描きます。

### 一時的な証人を外へ持ち出す

存在除去の名前は局所的です。その名を含まない結論を得てから部分証明を閉じます。

### 証明検査を翻訳検査と取り違える

合法的な証明が示すのは入力した形式的推論です。曖昧な原文の適切な翻訳や前提の事実性までは保証しません。

## 出典と版の確認

- [Open Logic Project: editions and official free access](https://forallx.openlogicproject.org/)
  無料PDF/HTMLと、開発版ファイルが変わる注意を確認。現在の紙本推薦はFall 2025ですが、本ガイドのFall 2023を置換しません。

- [Author repository: fixed Fall 2023 source](https://github.com/rzach/forallx-yyc/tree/9372a1824af84d02b910f51de1e7a8ca570ca164)
  著者管理のF23タグをコミット9372a1824af84d02b910f51de1e7a8ca570ca164に固定し、版、部、章題を確認。現行無料PDFとは別の改訂です。

- [Routledge: Introduction to Logic, 15th edition](https://www.routledge.com/Introduction-to-Logic/Copi-Cohen-Rodych/p/book/9781138500860)
  出版社で第15版の著者、著作権年2019と目次を確認。広告される補助サイトの全機能の稼働は保証しません。

- [CSLI: Language, Proof and Logic, second edition](https://web.stanford.edu/group/cslipublications/cslipublications/site/9781575866321.shtml)
  出版社で第2版、紙本・電子版ISBNの違い、有効化後の登録譲渡不可を確認。

- [University of Chicago Press: second-edition contents](https://press.uchicago.edu/ucp/books/book/distributed/L/bo12734345.html)
  公式販売元の19章の目次を参照。古いデスクトップ環境の説明を現行の利用案内とはしません。

- [Openproof: package access and registration keys](https://www.gradegrinder.net/Store/store.html)
  公式ストアでウェブアプリ、紙を含まないパッケージ、譲渡不可キーを確認。反例と修正証明はソフトに依存しない独自問題です。

提案する学習活動であり、公式の課題や全巻通読の主張ではありません。

[編集と選定の方法](https://unireadinglist.com/ja/editorial/)