連続時間における裁定取引理論

引用

Björk, T. (2019). Arbitrage Theory in Continuous Time (4th ed.). Oxford University Press.

章の概要

第1章: はじめに

金融における裁定取引理論の概念と重要性を紹介し、オプションや先物などの金融派生商品の価格設定モデルに焦点を当てる。

オプションを通じた通貨リスク管理を含む実践的な例を用いて、ヨーロピアンコールオプションについて議論する。

第I部: 離散時間モデル

第2章: 二項モデル

1期間二項モデルを詳細に説明し、裁定取引フリーな価格設定の基本原則と複製ポートフォリオの作成を説明する。

多期間二項モデルに拡張し、動的なポートフォリオ戦略と市場が裁定取引フリーであるための条件について議論する。

第3章: より一般的な1期間モデル

1期間二項モデルの一般化について議論し、より洗練された裁定取引の概念と市場が裁定取引フリーであるための条件を紹介する。

マルチンゲール測度とその価格設定とヘッジにおける重要性をカバーし、市場の完全性を強調し、確率的割引係数を紹介する。

第II部: 確率解析

第4-5章: 確率積分と微分方程式

ウィーナー過程、伊藤の補題、確率微分方程式（SDE）に焦点を当てた確率解析を紹介する。

株式価格のモデル化と偏微分方程式との関係におけるSDEの使用法を説明する。

第III部: 裁定取引理論

第6-12章: ポートフォリオ力学からマルチンゲールアプローチへ

ポートフォリオの力学、自己資金調達戦略、ブラック-ショールズ式の詳細な導出をカバーする。

完全性、ヘッジ、裁定取引理論におけるマルチンゲールアプローチの概念を紹介する。

第13章: マルチンゲールの観点からのブラック-ショールズ

マルチンゲール理論を使用してブラック-ショールズモデルを再解釈し、オプション価格設定への確率的アプローチを強調する。

測度の変更（ギルサノフの定理を介して）が、現実世界の確率測度をリスク中立測度に変換することを可能にする方法について議論する。

第14-15章: 多次元モデルとニューメレールの変更

多次元設定における裁定取引理論を探求し、デリバティブの評価を簡素化するためのニューメレールの変更の概念を紹介する。

フォワード測度を使用した価格設定やニューメレールポートフォリオの使用などの実用的な応用例を示す。

第16-18章: 配当と通貨デリバティブ

離散的および連続的な配当支払いが存在する場合の株式とデリバティブの価格設定について議論する。

外国為替市場におけるオプションや先物を含む通貨デリバティブの価格設定とヘッジに対処する。

第19-23章: 債券、金利、LIBOR市場モデル

ゼロクーポン債、金利の期間構造、ヒース-ジャロー-モートンフレームワークを含む、債券と金利の広範なモデルをカバーする。

金利デリバティブ（キャップやスワップションなど）の価格設定のためのLIBOR市場モデルを紹介し、キャリブレーションとシミュレーション手法について議論する。

第IV部: 最適制御と投資理論

第24章: ポテンシャルと正の金利

フレイサー-ヒューグストンモデルと、ポテンシャル理論を使用した金利モデリングの一般的なアプローチを検討する。

これらのモデルの実際の金融商品とその価格設定への応用について議論する。

第25-28章: 確率制御からアメリカンオプションへ

確率制御理論の金融意思決定への応用について議論し、最適消費と投資戦略を含む。

最適停止理論を使用したアメリカンオプションの理論と評価について説明する。

第V部: 不完全市場

第29-34章: 市場の不完全性への対応

効用最大化や最小マルチンゲール測度など、市場の不完全性に対処するための技術を探求する。

価格設定とヘッジ戦略に対する市場の不完全性の影響を検証する。

第VI部: 動的均衡理論

第35-38章: 均衡モデル

生産モデルとエンドウメントモデルを使用した動的均衡理論を紹介する。

コックス-インガーソル-ロスファクターと金利モデルについて議論し、均衡価格と金利の決定に関する洞察を提供する。

主要な概念

第I部: 離散時間モデル

裁定取引フリーな価格設定: 裁定取引の機会が存在しない場合、リスクなしで利益を得ることができないようにするデリバティブの一意の価格が存在するという基本的な原則。

二項モデル: 各資産が各期間に特定の要因で上昇または下降する単純なモデルで、裁定取引、マルチンゲール測度、デリバティブの価格設定を教えるための基本的な枠組みとして機能する。

複製ポートフォリオ: デリバティブのリターンを模倣するポートフォリオで、デリバティブの理論価格を決定する上で重要。

第II部: 確率解析

確率微分方程式（SDE）: 株価やその他の金融変数の時間的変化を連続的にモデル化するために使用される。

伊藤の補題: 確率過程の関数の微分を見つけるために使用される確率解析の基本結果で、ブラック-ショールズなどの金融モデルを導出するための鍵となる。

マルチンゲール: 公平なゲームを表す確率過程で、金融派生商品の価格設定とヘッジに広く使用される。

第III部: 裁定取引理論

ブラック-ショールズモデル: ヨーロピアンコールオプションとプットオプションの価格設定のための公式を提供し、現代の金融理論の大部分の基礎を形成する。

自己資金調達ポートフォリオ: 初期投資を超える追加の資金投入を必要としないポートフォリオで、金融市場におけるヘッジの概念の中核をなす。

完全市場: すべてのデリバティブが基礎資産を使用した取引戦略を通じて完全にヘッジできる市場の状態。

第IV部: 最適制御と投資理論

最適停止理論: 期待される報酬を最大化するか、期待されるコストを最小化するために特定の行動を取る時期を選択する問題を分析する。

アメリカンオプション: 満期までのいつでも行使できるオプションで、価格設定とヘッジには複雑な最適停止戦略が必要。

確率制御: 動的計画法とベルマン方程式を含み、確率的設定での意思決定を最適化する。

第V部: 不完全市場

効用最大化: 完全なヘッジが不可能な不完全市場で、投資家が期待効用を最大化することに焦点を当てる。

最小マルチンゲール測度: 割引資産価格過程がマルチンゲールとなる確率測度で、不完全市場でのデリバティブの価格設定に使用される。

無差別価格設定: 売り手がデリバティブを売却することと保有することに無差別となる最低価格を考慮したデリバティブの価格設定方法。

第VI部: 動的均衡理論

均衡モデル: 裁定取引だけでなく、市場参加者の最適化行動を通じて需要と供給をバランスさせることで価格を決定するモデル。

金利モデル: 確率過程を使用して時間の経過とともに金利の進化を記述するコックス-インガーソル-ロスモデルなど。

ニューメレール: 株式や金利などのスケーリング係数で、他のすべての金融量が測定される基準となる。

実世界への応用と例

第I部: 離散時間モデル

ヘッジ戦略: 二項モデルは、オプション取引における単純なヘッジ戦略を構築するのに実用的で、オプションがどのように価格設定され、単純化された市場環境で段階的にヘッジされるかを示す。

教育ツール: 金融派生商品の基本概念や無裁定取引とリスク中立評価の原則を学生に紹介するために教育現場でよく使用される。

第II部: 確率解析

金融工学: 確率微分方程式は、量的金融における株価、金利、その他の金融変数のモデル化に不可欠で、複雑なデリバティブ価格設定モデルの開発を容易にする。

リスク管理: 伊藤の補題などのツールは、デリバティブの保有に関連するリスクを管理するために不可欠な動的ヘッジ戦略を定式化し調整するのに役立つ。

第III部: 裁定取引理論

デリバティブ価格設定: ブラック-ショールズモデルは、その限界にもかかわらず、ヨーロピアンオプションの価格設定に金融業界で広く使用され、より複雑なデリバティブ価格設定フレームワークの基礎を形成している。

市場効率性: 完全市場に関する議論は、市場構造と効率性に関する規制や学術的な議論に情報を提供し、より堅牢な金融市場の設計に影響を与えている。

第IV部: 最適制御と投資理論

ポートフォリオ最適化: 議論されている技術は、時間の経過とともにリターンを最大化するかリスクを最小限に抑えるために動的戦略が必要な投資ポートフォリオの管理に適用される。

リアルオプション分析: 金融オプションと同様に、不確実性の下での投資機会を評価するために企業財務で使用され、特に鉱業、石油、不動産開発などの業界で使用される。

第V部: 不完全市場

非流動市場での価格設定: 流動性制約やその他の市場の不完全性のために特定の資産を完全にヘッジできない市場では、不完全市場の概念が代替の価格設定方法の枠組みを提供する。

保険とアクチュアリアルサイエンス: 効用最大化と無差別価格設定は、リスクを完全にヘッジできない保険契約の価格設定に保険業界で使用される。

第VI部: 動的均衡理論

マクロ経済モデリング: 動的均衡モデルは、中央銀行や政策立案者が金利、インフレ、経済成長の関係を理解し、予測するために使用される。

資産価格の決定: 均衡モデルは、市場参加者の選好と制約を考慮に入れることで、資産価格がどのように決定されるかを理解するのに役立つ。