連續時間套利理論

引用

Björk, T. (2019). Arbitrage Theory in Continuous Time (4th ed.). Oxford University Press.

章節概述

第1章：引言

介紹套利理論在金融中的概念和意義，專注於選擇權和期貨等金融衍生性商品的定價模型。

透過涉及透過選擇權進行貨幣風險管理的實際例子討論歐式買權。

第一部分：離散時間模型

第2章：二項式模型

詳細介紹單期二項式模型，闡述無套利定價的基本原理和複製投資組合的創建。

擴展到多期二項式模型，討論動態投資組合策略和市場無套利的條件。

第3章：更一般的單期模型

討論單期二項式模型的推廣，引入更複雜的套利概念和市場無套利的條件。

涵蓋馬丁格爾測度及其在定價和避險中的重要性，強調市場的完備性並引入隨機折現因子。

第二部分：隨機微積分

第4-5章：隨機積分和微分方程

介紹隨機微積分，專注於維納過程、伊藤引理和隨機微分方程(SDE)。

解釋SDE在股價建模中的應用以及與偏微分方程的關係。

第三部分：套利理論

第6-12章：從投資組合動力學到馬丁格爾方法

涵蓋投資組合的動力學、自籌資策略以及布萊克-休斯公式的詳細推導。

介紹套利理論中完備性、避險和馬丁格爾方法的概念。

第13章：從馬丁格爾角度看布萊克-休斯

使用馬丁格爾理論重新解釋布萊克-休斯模型，強調選擇權定價的機率方法。

討論測度變換（透過吉爾薩諾夫定理）如何允許將真實世界機率測度轉換為風險中性測度。

第14-15章：多維模型和計價單位變換

探討多維環境中的套利理論，引入改變計價單位以簡化衍生性商品估值的概念。

展示實際應用，如遠期測度定價和計價單位投資組合的使用。

第16-18章：股息和貨幣衍生性商品

討論在存在離散和連續股息支付情況下股票和衍生性商品的定價。

處理貨幣衍生性商品的定價和避險，包括外匯市場中的選擇權和期貨。

第19-23章：債券、利率和LIBOR市場模型

涵蓋債券和利率的廣泛模型，包括零息債券、利率期限結構和Heath-Jarrow-Morton框架。

介紹用於定價利率衍生性商品（如利率上限和利率交換選擇權）的LIBOR市場模型，討論校準和模擬技術。

第四部分：最適控制和投資理論

第24章：勢能和正利率

檢驗Flesaker-Hughston模型和使用勢能理論建模利率的一般方法。

討論這些模型在現實世界金融工具及其定價中的應用。

第25-28章：從隨機控制到美式選擇權

討論隨機控制理論在金融決策中的應用，包括最適消費和投資策略。

使用最適停時理論解釋美式選擇權的理論和估值。

第五部分：不完全市場

第29-34章：處理市場不完全性

探討處理市場不完全性的技術，包括效用最大化和最小馬丁格爾測度。

檢視市場不完全性對定價和避險策略的影響。

第六部分：動態均衡理論

第35-38章：均衡模型

使用生產和稟賦模型介紹動態均衡理論。

討論Cox-Ingersoll-Ross因子和利率模型，為確定均衡價格和利率提供見解。

關鍵概念

第一部分：離散時間模型

無套利定價：如果不存在套利機會，則存在防止無風險獲利的衍生性商品唯一價格的基本原理。

二項式模型：一個簡單模型，每個資產每期可以按某些因子向上或向下移動，作為教授套利、馬丁格爾測度和衍生性商品定價的基本框架。

複製投資組合：模仿衍生性商品回報的投資組合，對確定衍生性商品的理論價格至關重要。

第二部分：隨機微積分

隨機微分方程(SDE)：用於連續時間內建模股價和其他金融變數演變的工具。

伊藤引理：隨機微積分中的基本結果，用於求解隨機過程函數的微分，是推導布萊克-休斯等金融模型的關鍵。

馬丁格爾：代表公平博弈的隨機過程，在金融衍生性商品的定價和避險中廣泛使用。

第三部分：套利理論

布萊克-休斯模型：提供歐式買權和賣權定價公式，構成現代金融理論的基礎。

自籌資投資組合：除初始投資外無需額外現金投入的投資組合，是金融市場避險概念的核心。

完全市場：所有衍生性商品都可以透過涉及基礎資產的交易策略完美避險的市場條件。

第四部分：最適控制和投資理論

最適停時理論：分析選擇採取特定行動時間以最大化期望回報或最小化期望成本的問題。

美式選擇權：可在到期前任何時間行權的選擇權，其定價和避險需要複雜的最適停時策略。

隨機控制：涉及動態規劃和貝爾曼方程以在隨機環境中最適化決策制定。

第五部分：不完全市場

效用最大化：專注於投資者最大化其期望效用，在無法完美避險的不完全市場中差異顯著。

最小馬丁格爾測度：貼現資產價格過程為馬丁格爾的機率測度，用於不完全市場中衍生性商品定價。

無差異定價：考慮賣方在出售和持有衍生性商品之間無差異的最低價格的衍生性商品定價方法。

第六部分：動態均衡理論

均衡模型：不僅透過套利而且透過市場參與者最適化行為平衡供求來確定價格的模型。

利率模型：包括描述利率隨時間使用隨機過程演變的Cox-Ingersoll-Ross等模型。

計價單位：相對於所有其他金融量進行測量的縮放因子，如股票或利率。

實際應用和例子

第一部分：離散時間模型

避險策略：二項式模型實用於構建選擇權交易中的簡單避險策略，闡述如何在簡化市場環境中逐步定價和避險選擇權。

教學工具：常用於教育環境中向學生介紹金融衍生性商品的基本概念以及無套利和風險中性估值的原理。

第二部分：隨機微積分

金融工程：隨機微分方程對於量化金融中建模股價、利率和其他金融變數至關重要，促進複雜衍生性商品定價模型的發展。

風險管理：伊藤引理等工具有助於制定和調整動態避險策略，對管理持有衍生性商品相關風險至關重要。

第三部分：套利理論

衍生性商品定價：布萊克-休斯模型儘管有局限性，但在金融業中廣泛用於歐式選擇權定價，並構成更複雜衍生性商品定價框架的基礎。

市場效率：完全市場的討論為市場結構和效率的監管和學術辯論提供資訊，影響更穩健金融市場的設計。

第四部分：最適控制和投資理論

投資組合最適化：討論的技術應用於管理投資組合，其中需要動態策略來最大化回報或最小化長期風險。

實質選擇權分析：用於公司金融中在不確定性下評估投資機會的價值，類似於金融選擇權，特別是在採礦、石油和房地產開發等產業。

第五部分：不完全市場

流動性不足市場定價：在由於流動性約束或其他市場缺陷而無法完美避險某些資產的市場中，不完全市場的概念為替代定價方法提供框架。

保險和精算科學：效用最大化和無差異定價用於保險業定價無法完全避險風險的保險合約。

第六部分：動態均衡理論

總體金融建模：經濟學家和政策制定者用於理解和預測金融政策對利率和資產價格等經濟變數的影響。

利率交換：Cox-Ingersoll-Ross模型和其他利率模型在利率衍生性商品（如交換和債券）的定價和風險管理中有直接應用。