連続時間における裁定理論

引用

Björk, T. (2019). Arbitrage Theory in Continuous Time (4th ed.). Oxford University Press.

章の要約

第1章：イントロダクション

オプションや先物などの金融デリバティブの価格設定モデルに焦点を当てて、金融における裁定理論の概念と重要性を紹介します。

オプションを通じた通貨リスク管理を含む実用的な例を使用して、ヨーロピアン・コール・オプションについて論じます。

第I部：離散時間モデル

第2章：二項モデル

1期間二項モデルを詳述し、裁定フリー価格設定の基本原理と複製ポートフォリオの作成を例示します。

多期間二項モデルに拡張し、動的ポートフォリオ戦略と市場が裁定フリーとなる条件について論じます。

第3章：より一般的な1期間モデル

1期間二項モデルの一般化について論じ、より洗練された裁定概念と市場が裁定フリーとなる条件を導入します。

マルチンゲール測度と価格設定・ヘッジにおけるその重要性を扱い、市場の完備性を強調し、確率的割引ファクターを導入します。

第II部：確率微積分

第4-5章：確率積分と微分方程式

ウィーナー過程、伊藤の補題、確率微分方程式（SDE）に焦点を当てて確率微積分を導入します。

株価モデリングにおけるSDEの使用と偏微分方程式との関係を説明します。

第III部：裁定理論

第6-12章：ポートフォリオダイナミクスからマルチンゲールアプローチまで

ポートフォリオのダイナミクス、自己資金調達戦略、ブラック・ショールズ公式の詳細な導出を扱います。

裁定理論における完備性、ヘッジ、マルチンゲールアプローチの概念を導入します。

第13章：マルチンゲール視点からのブラック・ショールズ

マルチンゲール理論を使用してブラック・ショールズモデルを再解釈し、オプション価格設定への確率論的アプローチを強調します。

（ギルサノフ定理による）測度変換が実世界確率測度をリスク中立測度に変換する方法について論じます。

第14-15章：多次元モデルと数値財の変更

多次元設定での裁定理論を探究し、デリバティブの評価を簡素化するための数値財変更の概念を導入します。

フォワード測度による価格設定や数値財ポートフォリオの使用などの実用的応用を実証します。

第16-18章：配当と通貨デリバティブ

離散・連続配当支払いの存在下での株式とデリバティブの価格設定について論じます。

外国為替市場におけるオプションや先物を含む通貨デリバティブの価格設定とヘッジを扱います。

第19-23章：債券、金利、LIBORマーケットモデル

ゼロクーポン債券、金利の期間構造、ヒース・ジャロー・モートン枠組みを含む債券と金利の包括的モデルを扱います。

キャップやスワップションなどの金利デリバティブ価格設定のためのLIBORマーケットモデルを導入し、較正とシミュレーション技法について論じます。

第IV部：最適制御と投資理論

第24章：ポテンシャルと正の金利

フレサカー・ヒューストンモデルとポテンシャル理論を使用した金利モデリングの一般的アプローチを検討します。

これらのモデルの実世界の金融商品とその価格設定への応用について論じます。

第25-28章：確率制御からアメリカンオプションまで

最適消費と投資戦略を含む金融意思決定への確率制御理論の応用について論じます。

最適停止理論を使用したアメリカンオプションの理論と評価を説明します。

第V部：不完備市場

第29-34章：市場不完備性への対処

効用最大化と最小マルチンゲール測度を含む市場不完備性を扱う技法を探究します。

価格設定とヘッジ戦略に対する市場不完備性の含意を検討します。

第VI部：動的均衡理論

第35-38章：均衡モデル

生産と基金モデルを使用した動的均衡理論を導入します。

コックス・インガーソル・ロス因子と金利モデルについて論じ、均衡価格と金利の決定への洞察を提供します。

主要概念

第I部：離散時間モデル

裁定フリー価格設定：裁定機会が存在しない場合、リスクなしの利益を防ぐデリバティブの一意価格が存在するという基本原理。

二項モデル：各資産が期間ごとに特定の要因で上下に動く単純なモデルで、裁定、マルチンゲール測度、デリバティブ価格設定の教育の基本枠組みとして機能します。

複製ポートフォリオ：デリバティブのリターンを模倣するポートフォリオで、デリバティブの理論価格を決定するために重要です。

第II部：確率微積分

確率微分方程式（SDE）：株価や他の金融変数の時間における連続的進化をモデル化するために使用されます。

伊藤の補題：確率過程の関数の微分を求めるために使用される確率微積分の基本結果で、ブラック・ショールズなどの金融モデル導出の鍵となります。

マルチンゲール：公平なゲームを表す確率過程で、金融デリバティブの価格設定とヘッジに広範囲に使用されます。

第III部：裁定理論

ブラック・ショールズモデル：ヨーロピアン・コール・プット・オプションの価格設定公式を提供し、現代金融理論の基礎の多くを形成します。

自己資金調達ポートフォリオ：初期投資を超える追加現金投入を必要としないポートフォリオで、金融市場におけるヘッジ概念の中心となります。

完備市場：すべてのデリバティブが原資産を含む取引戦略を通じて完全にヘッジできる市場条件。

第IV部：最適制御と投資理論

最適停止理論：期待報酬を最大化または期待コストを最小化するために特定の行動を取る時間を選択する問題を分析します。

アメリカンオプション：満期までいつでも行使できるオプションで、価格設定とヘッジには複雑な最適停止戦略が必要です。

確率制御：確率設定での意思決定最適化のために動的プログラミングとベルマン方程式を含みます。

第V部：不完備市場

効用最大化：完全ヘッジが不可能な不完備市場で大きく異なる、期待効用を最大化する投資家に焦点を当てます。

最小マルチンゲール測度：割引資産価格過程がマルチンゲールとなる確率測度で、不完備市場でのデリバティブ価格設定に使用されます。

無差別価格設定：売り手がデリバティブを売ることと保有することに無差別な最低価格を考慮するデリバティブ価格設定方法。

第VI部：動的均衡理論

均衡モデル：裁定だけでなく、市場参加者の最適化行動を通じた需要と供給のバランスによって価格を決定するモデル。

金利モデル：確率過程を使用して時間における金利の進化を記述するコックス・インガーソル・ロスなどのモデルを含みます。

数値財：株式や金利など、他のすべての金融量が測定される基準となるスケーリング因子。

実世界の応用と例

第I部：離散時間モデル

ヘッジ戦略：二項モデルは、簡素化された市場環境でオプションがどのように段階的に価格設定・ヘッジされるかを例示し、オプション取引における単純なヘッジ戦略の構築に実用的です。

教育ツール：金融デリバティブの基本概念と裁定なし・リスク中立評価の原理を学生に紹介するために教育設定でしばしば使用されます。

第II部：確率微積分

金融工学：確率微分方程式は計量金融において株価、金利、その他の金融変数をモデル化するために不可欠で、複雑なデリバティブ価格設定モデルの発展を促進します。

リスク管理：伊藤の補題などのツールは、デリバティブ保有に関連するリスク管理に重要な動的ヘッジ戦略の策定と調整に役立ちます。

第III部：裁定理論

デリバティブ価格設定：ブラック・ショールズモデルは限界があるにもかかわらず、ヨーロピアン・オプションの価格設定に金融業界で広く使用され、より複雑なデリバティブ価格設定枠組みの基礎を形成します。

市場効率性：完備市場の議論は市場構造と効率性に関する規制・学術的議論に情報を提供し、より堅牢な金融市場の設計に影響を与えます。

第IV部：最適制御と投資理論

ポートフォリオ最適化：論じられた技法は投資ポートフォリオの管理に適用され、時間にわたってリターンを最大化またはリスクを最小化するために動的戦略が必要です。

リアルオプション分析：特に採掘、石油、不動産開発業界で金融オプションと類似した不確実性下での投資機会を評価するために企業金融で使用されます。

第V部：不完備市場

非流動的市場での価格設定：流動性制約や他の市場不完全性により特定の資産が完全にヘッジできない市場で、不完備市場の概念は代替価格設定方法の枠組みを提供します。

保険と保険数理科学：効用最大化と無差別価格設定は、リスクが完全にヘッジできない保険契約の価格設定に保険業界で使用されます。

第VI部：動的均衡理論

マクロ金融モデリング：金利や資産価格などの経済変数に対する金融政策の影響を理解・予測するために経済学者と政策立案者によって使用されます。

金利スワップ：コックス・インガーソル・ロスモデルとその他の金利モデルは、スワップや債券などの金利デリバティブのリスクの価格設定と管理に直接的応用があります。