連續時間套利理論

引用

Björk, T. (2019). Arbitrage Theory in Continuous Time (4th ed.). Oxford University Press.

章節概述

第一章：導論

介紹金融中套利理論的概念和意義，重點關注期權和期貨等金融衍生品的定價模型。

討論歐式買權，使用透過期權進行貨幣風險管理的實際例子。

第一部分：離散時間模型

第二章：二項式模型

詳述單期二項式模型，說明無套利定價的基本原理和複製投資組合的創建。

擴展到多期二項式模型，討論動態投資組合策略和市場無套利的條件。

第三章：更一般的單期模型

討論單期二項式模型的推廣，介紹更複雜的套利概念和市場無套利的條件。

涵蓋鞅測度及其在定價和對沖中的重要性，強調市場完全性並介紹隨機貼現因子。

第二部分：隨機微積分

第四至五章：隨機積分和微分方程

介紹隨機微積分，重點是維納過程、伊藤引理和隨機微分方程（SDE）。

解釋SDE在建模股價中的使用及其與偏微分方程的關係。

第三部分：套利理論

第六至十二章：從投資組合動態到鞅方法

涵蓋投資組合動態、自融資策略以及布萊克-舒爾斯公式的詳細推導。

介紹完全性、對沖和套利理論中鞅方法的概念。

第十三章：從鞅角度看布萊克-舒爾斯

使用鞅理論重新解釋布萊克-舒爾斯模型，強調期權定價的概率方法。

討論測度變換（透過吉爾薩諾夫定理）如何允許將現實世界概率測度轉換為風險中性測度。

第十四至十五章：多維模型和計價單位變換

探索多維環境中的套利理論，介紹改變計價單位以簡化衍生品估值的概念。

演示實際應用，如使用遠期測度定價和計價投資組合的使用。

第十六至十八章：股息和貨幣衍生品

討論存在離散和連續股息支付情況下股票和衍生品的定價。

處理貨幣衍生品的定價和對沖，包括外匯市場中的期權和期貨。

第十九至二十三章：債券、利率和LIBOR市場模型

涵蓋債券和利率的廣泛模型，包括零息債券、利率期限結構和Heath-Jarrow-Morton框架。

介紹用於為利率衍生品如利率上限和交換選擇權定價的LIBOR市場模型，討論校準和模擬技術。

第四部分：最適控制和投資理論

第二十四章：勢能和正利率

檢查Flesaker-Hughston模型和使用勢能理論建模利率的一般方法。

討論這些模型在現實世界金融工具及其定價中的應用。

第二十五至二十八章：隨機控制到美式期權

討論隨機控制理論在金融決策中的應用，包括最適消費和投資策略。

解釋使用最適停止理論的美式期權理論和估值。

第五部分：不完全市場

第二十九至三十四章：處理市場不完全性

探索處理市場不完全性的技術，包括效用最大化和最小鞅測度。

檢查市場不完全性對定價和對沖策略的影響。

第六部分：動態均衡理論

第三十五至三十八章：均衡模型

使用生產和稟賦模型介紹動態均衡理論。

討論Cox-Ingersoll-Ross因子和利率模型，提供對均衡價格和利率確定的洞察。

關鍵概念

第一部分：離散時間模型

**無套利定價：**如果不存在套利機會，則存在阻止無風險盈利的衍生品唯一價格的基本原理。

**二項式模型：**簡單模型，其中每個資產每期可按某些因子上漲或下跌，作為教學套利、鞅測度和衍生品定價的基本框架。

**複製投資組合：**模仿衍生品回報的投資組合，對確定衍生品理論價格至關重要。

第二部分：隨機微積分

**隨機微分方程（SDE）：**用於連續建模股價和其他金融變數隨時間演變。

**伊藤引理：**隨機微積分中的基本結果，用於求隨機過程函數的微分，是推導如布萊克-舒爾斯等金融模型的關鍵。

**鞅：**表示公平遊戲的隨機過程，在金融衍生品定價和對沖中廣泛使用。

第三部分：套利理論

**布萊克-舒爾斯模型：**提供歐式買權和賣權定價公式，構成現代金融理論的基礎。

**自融資投資組合：**除初始投資外不需要額外現金投入的投資組合，是金融市場對沖概念的核心。

**完全市場：**所有衍生品都可以透過交易基礎資產的策略完美對沖的市場條件。

第四部分：最適控制和投資理論

**最適停止理論：**分析選擇採取特定行動時間以最大化期望報酬或最小化期望成本的問題。

**美式期權：**可在到期前任何時間行使的期權，其定價和對沖需要複雜的最適停止策略。

**隨機控制：**涉及動態規劃和貝爾曼方程在隨機設置中優化決策制定。

第五部分：不完全市場

**效用最大化：**專注於投資者最大化預期效用，在不完全市場中與完美對沖不可能時顯著不同。

**最小鞅測度：**使貼現資產價格過程成為鞅的概率測度，用於不完全市場中衍生品定價。

**無差異定價：**考慮賣方在出售和持有衍生品之間無差異的最低價格的衍生品定價方法。

第六部分：動態均衡理論

**均衡模型：**不僅透過套利而且透過市場參與者優化行為平衡供需確定價格的模型。

**利率模型：**包括Cox-Ingersoll-Ross等模型，使用隨機過程描述利率隨時間演變。

**計價單位：**相對測量所有其他金融量的縮放因子，如股票或利率。

現實世界應用和例子

第一部分：離散時間模型

**對沖策略：**二項式模型在期權交易中構建簡單對沖策略方面實用，說明在簡化市場環境中如何逐步為期權定價和對沖。

**教學工具：**經常用於教育環境中向學生介紹金融衍生品基本概念以及無套利和風險中性估值原理。

第二部分：隨機微積分

**金融工程：**隨機微分方程對量化金融中建模股價、利率和其他金融變數至關重要，促進複雜衍生品定價模型的發展。

**風險管理：**伊藤引理等工具有助於制定和調整動態對沖策略，對管理持有衍生品相關風險至關重要。

第三部分：套利理論

**衍生品定價：**儘管有局限性，布萊克-舒爾斯模型在金融行業中廣泛用於為歐式期權定價，並構成更複雜衍生品定價框架的基礎。

**市場效率：**關於完全市場的討論為監管和學術關於市場結構和效率的辯論提供資訊，影響更強大金融市場的設計。

第四部分：最適控制和投資理論

**投資組合優化：**所討論的技術應用於管理投資組合，其中動態策略對最大化回報或最小化風險是必要的。

**實物期權分析：**用於公司金融中評估不確定性下的投資機會，類似於金融期權，特別是在採礦、石油和房地產開發行業。

第五部分：不完全市場

**流動性不足市場定價：**在由於流動性約束或其他市場不完善而無法完美對沖某些資產的市場中，不完全市場概念為替代定價方法提供框架。

**保險和精算科學：**效用最大化和無差異定價用於保險業為無法完全對沖風險的保險合約定價。

第六部分：動態均衡理論

**宏觀金融建模：**經濟學家和政策制定者用於理解和預測金融政策對利率和資產價格等經濟變數的影響。

**利率交換：**Cox-Ingersoll-Ross模型和其他利率模型在為利率衍生品（如交換和債券）定價和管理風險方面有直接應用。