抽象代数：写像が保つ演算を明示する
剰余類上の式は、演算を保つ前に代表元によらず定まる必要がある。正しい群同型でも積を保つとは限らない。小さな一つの写像で、「同じ構造」という言葉を別々の検査へ分解しよう。
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このページの目次
対象と編集責任
巡回群、準同型、核、商群を証明する経路と、環の積を加える追試。Judson は2026年年次版、Pinter はDover第2版復刊、Carter は視覚的群論の選択AMS復刊を指す。Carter は群の部分を支え、環全体には広い教材を使う。
出発点を選ぶ
無料で群から環へ進みたい
Judson の厳密な学部課程を選び、計算例と後半の環・体を使う。
三冊を比較する
Abstract Algebra: Theory and Applications（抽象代数学：理論と応用）
Thomas W. Judson · 2026
無料の主教材、証明を重視
- 選ぶ場面
- 集合・関数・短い証明を使え、群の先まで学びたいとき。
- 別の教材が適する場面
- 対称性の図だけがほしい、または計算が証明を代替すると考えるとき。
- 読む範囲
- 群、巡回群、準同型、剰余群から、環と環準同型へ。
- 限界と注意点
- 広い範囲とSage活動は入口を増やすが、実験と証明を区別する。
選ぶ前に試す
Z/12からZ/8への[k]↦[2k]で、同じ入力類の代表元を変える。
確認すること: kをk+12に変えると出力差24は8の倍数なので、写像は定まる。
抽象代数学の本
Charles C. Pinter · 版: 2 · 2010
小刻みな入門
- 選ぶ場面
- 演習系列を通じて論証を組み立てたいとき。
- 別の教材が適する場面
- 大学院の包括的参考書や公開の全問解答が必要なとき。
- 読む範囲
- 選択第2版の演算、準同型、正規部分群・商、その後の環。
- 限界と注意点
- 重要な結果が演習で発展するため、省くと必要な証明も失いうる。
選ぶ前に試す
核を列挙し、像が同じことと差が核に入ることの同値を示す。
確認すること: 核は{0,4,8}。各ファイバーはその剰余類で、任意の三要素集合ではない。
Visual Group Theory（ビジュアル群論）
Nathan Carter · 2021
視覚的な群論
- 選ぶ場面
- 作用やケイリー図で商を具体化したいとき。
- 別の教材が適する場面
- すぐ環・イデアル・加群を全体的に学ぶ必要があるとき。
- 読む範囲
- Subgroups、Products and quotients、The power of homomorphisms。まず導入図を使う。
- 限界と注意点
- 図で例を蓄えられるが、群の図の対応は追加した環の積まで保証しない。
選ぶ前に試す
例題の四つのファイバーと共通の出力を描く。
確認すること: 大きさ3の集合が四つあり、0,2,4,6へ写る。演算を保つかは別に確認する。
準備を確認する
整数と剰余類を区別できるか
Z/12の[k]には多くの代表元がある。どの代表元からも同じ出力類にならねばならない。
保つ演算は何か
群では加法の準同型式。環では積も検査し、1を保つ規約かも明示する。
像への同型とは何か
核で割った後の、全単射かつ演算を保つ写像。主例の対象は群である。
六つのステップで学ぶ
完了したステップ: 0 / 6
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対象を定める
読む範囲: 集合・関数と合同算術。
取り組む課題: 定義域、終域、異なる法の加法を書く。
確認すること: 入力と出力の同値関係を混ぜない。
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代表元への非依存を証明
読む範囲: 準同型。
取り組む課題: kをk+12mへ変え、出力類が変わらないと示す。
確認すること: 任意の整数mを扱う。
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核と像を求める
読む範囲: 巡回群と核。
取り組む課題: 十二入力を列挙し、整除条件でも説明する。
確認すること: 核3、像4で全十二要素を説明する。
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商写像を作る
読む範囲: 剰余群と同型定理。
取り組む課題: 四剰余類と像を書き、誘導写像の加法性と全単射を確かめる。
確認すること: 加法群の結果であり、積は未証明。
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要求構造を変える
読む範囲: 環と追試。
取り組む課題: 一組の積を検査し、像の単位元を調べる。
確認すること: 積について閉じるだけでは写像は環準同型にならない。
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定理を正確に述べる
読む範囲: 二つの解答。
取り組む課題: 曖昧な「同じ構造」を、正しい群同型と失敗する強い主張に置き換える。
確認すること: 定義域、像、演算、核を明記する。
解答付きの例題
入力と出力の法が違う商の式
加法群の写像phi:Z/12→Z/8をphi([k]12)=[2k]8で定める。代表元によらないことと加法性を証明し、核・像・誘導される商群同型を求めよ。
前提
有限加法群で正確に計算する。角括弧の添字は法を示す。主例では積の保存を仮定しない。
- k′=k+12mなら2k′−2k=24mは8の倍数で、出力類は同じ。phi([a+b])=[2a+2b]=phi([a])+phi([b])。
- 2k≡0 mod8はk≡0 mod4と同値。Z/12の核は{0,4,8}、像は法8の加法を持つ{0,2,4,6}。
- 剰余類{0,4,8},{1,5,9},{2,6,10},{3,7,11}は順に0,2,4,6へ写る。像ごとに一剰余類なので、(Z/12)/ker(phi)→im(phi)は加法的な全単射。
解答と解釈
代表元によらない加法準同型。核{0,4,8}、像{0,2,4,6}、誘導商群は位数4で像と同型。
結果を検証する
12=3·4。[1]12と[13]12は同じ[2]8へ写る。元写像は単射ではなく、商からの誘導写像が単射になる。
前提を変えて考える
環の積を加えると検査が変わる
集合と式を保ち、通常の法12・法8の環の積も用いる。1の保存を要求しなくてもphiは環準同型か。偶数剰余類の像は積で閉じ、乗法単位元を持つか。
- a=b=[1]12ならphi(ab)=[2]8だが、phi(a)phi(b)=[4]8。積を保たないので、単位元を要求しない規約でも環準同型ではない。
- 偶数剰余類は法8の加法と積で閉じ、単位元を要求しない意味で部分環になる。閉性は集合の性質で、phiの積保存ではない。
- 偶数類eが像の単位元なら2e≡2 mod8、すなわちe≡1 mod4が必要で、eは奇数となり矛盾。乗法単位元はない。
解答と解釈
加法の結論は保たれるがphiは環準同型ではない。像は積で閉じても単位元を持たず、先の群同型は環同型の証明ではない。
結果を検証する
核{0,4,8}はZ/12のイデアルでもあるが、積保存の失敗は直らない。商定理を使う前に写像の仮定を確かめる。
よくある誤り
表だけで代表元を検査
表は発見を助けるが、代表元への非依存は全代表元について証明する。
演算を忘れる
準同型・同型には対象と演算の指定が要る。
閉性と保存を混同
像が閉じていても選んだ写像が積を保つとは限らない。
次に進む前に
- 剰余類の式が正しく定まると証明する。
- 商群の誘導写像を構成し検証する。
- 不当な環の主張へ具体的反例を与える。
出典と版の確認
出典確認日:
- Judson: official annual editions and free text
著者は年次版とオンライン更新を区別し、群と後半の環・体を分ける。
- Dover: selected second-edition reprint
選択Dover第2版は短章と演習系列による入門を支える。
- MAA publisher-hosted contents: visual group theory
出版社側の目次は視覚的な群・商・準同型を示し、環全体の課程ではない。
提案する学習活動であり、公式の課題や全巻通読の主張ではありません。