Understanding Analysis（理解分析学）

引用

Abbott, S. (2015). Understanding Analysis (2nd ed.). Springer. Undergraduate Texts in Mathematics.

章节概要

每一章都以一节非正式的"讨论"开篇，提出引发思考的问题；随后展开由定义和证明构成的精简主体；最后是一节由习题推动论证的专题，以及一段简短的结语。第8章则全部由专题构成。

第1章：实数

本章从 √2 的无理性讲起，以此说明为什么需要一个更大的数系；在一些预备知识之后，给出完备性公理并推出其结论。章末讨论基数与康托尔定理，包括实数集的不可数性。

第2章：数列与级数

开篇讨论表明，重新排列交错调和级数的项会改变其和，提醒读者有限情形下的算术不能直接搬到无穷和上。本章随后展开：

• 数列极限
• 代数极限定理与序极限定理
• 单调收敛定理
• 子列与波尔查诺–魏尔斯特拉斯定理
• 柯西准则以及无穷级数的性质

专题为二重求和与级数乘积。

第3章：R 的基本拓扑

从长度为零却不可数的康托尔集出发，本章讨论开集与闭集、紧集、完全集与连通集，并以贝尔定理为专题。序言承认，这一章比后续各章实际所需的要长。

第4章：函数极限与连续性

借助狄利克雷函数和托马函数，本章审慎地定义函数极限。内容包括连续函数、紧集上的连续函数和介值定理；专题追问：哪些集合可以成为某个函数的间断点集。

第5章：导数

开篇讨论以函数族 xⁿ sin(1/x) 为试金石，追问导数是否一定连续。本章证明导数具有介值性质（达布定理），展开中值定理，最后构造一个处处不可导的连续函数。

第6章：函数列与函数项级数

第二版新写的开篇讨论讲述了欧拉如何通过操作幂级数求出 1/n² 之和。本章讨论：

• 一致收敛，包括它与求导的关系
• 函数项级数
• 幂级数与泰勒级数——第二版把泰勒级数移入了本章的核心内容

本章以魏尔斯特拉斯逼近定理的专题收尾。

第7章：黎曼积分

开篇讨论追问：一旦把积分与求原函数分开，积分应当如何定义。在给出积分定义、讨论含间断点函数的积分及积分的基本性质之后，本章证明微积分基本定理。据序言所说，全章的主线是用连续性刻画可积函数，而专题中的黎曼可积性勒贝格判据为这条主线画上句号。

第8章：补充专题

六个独立的教程式小节：

• 广义黎曼积分
• 度量空间与贝尔纲定理
• 欧拉求和
• "发明"阶乘函数（伽马函数，涉及反常积分和积分号下求导）
• 傅里叶级数
• 由 Q 构造 R

核心概念

第1–2章：实数；数列与级数

• 完备性公理：每个有上界的非空实数集都有最小上界，这是把 R 与 Q 区分开的性质。
• 基数：通过一一对应比较无穷集合的大小，并由此引出康托尔定理。
• 波尔查诺–魏尔斯特拉斯定理：每个有界数列都有收敛的子列。

第3–5章：拓扑、连续性与导数

• 紧集：其中任一数列都有收敛到该集合中某点的子列的集合；第4章研究这类集合上的连续函数。
• 介值定理：区间上的连续函数取到其任意两个函数值之间的每一个值。
• 达布定理：导数即使不连续，也具有介值性质。

第6–7章：函数列与函数项级数；黎曼积分

• 一致收敛：函数列在整个定义域上以同一速度收敛；在这一条件下极限保持连续性，在附加假设下还保持可微性。
• 泰勒级数：由函数各阶导数构成的幂级数，以及它何时确实收敛到原函数的问题。
• 微积分基本定理：联系积分与微分的两部分定理。
• 勒贝格判据：有界函数黎曼可积，当且仅当其间断点集是零测集。

第8章：补充专题

• 广义黎曼积分：由库尔茨韦尔和亨斯托克提出的黎曼积分的修正形式，能够积分所有导函数。
• 度量空间：配备距离函数的集合，是更一般的贝尔纲定理的舞台。

评析

优点

• 先有问题，后有定理。 序言把目标定为聚焦那些赋予分析学魅力的问题：

  • 康托尔集是否包含无理数
  • 导数是否连续、是否可积
  • 光滑函数是否等于它的泰勒级数

  Scott Sciffer 在澳大利亚数学会 Gazette 上对第一版的书评中，特别提到了为每章提供动机的讨论小节和指向更深内容的结语。

• 为初学者写的证明。 作者表示，他有意以详尽取代简洁，大多数证明都附有关于思路和相关定义的说明，而常规论证则留作习题。出版社转载的书评都称赞其叙述：

  • D. Robbins 在 Choice（2015年10月）中称其异常清晰。
  • Mark Hunacek 在 MAA Reviews（2015年6月）中称本书是单变量本科分析教材中的"黄金标准"。

• 专题与修订后的习题。 第二版在保留第一版约200道习题的基础上新增约150道，其中包括摩尔法式的习题，要求学生判断猜想真伪、寻找可能并不存在的例子；另外新增了欧拉求和、魏尔斯特拉斯逼近定理和阶乘函数三个专题。Ryszard Pawlak 在 zbMATH 上对第二版的评论把这种教学设计视为本书的突出特点。

• 便于取舍。 序言注明所有专题小节（1.6、2.8、3.5、4.6、5.4、6.7、7.6 以及整个第8章）均为选学，指出后面的定理不依赖于讨论小节，并说明了第3章中哪些部分是全书其余内容所必需的。近期的课程在实践中体现了这种灵活性：罗阿诺克学院的课程略过了大部分专题小节，UT Tyler 的课程则纳入了其中几个（见下文"常见课程安排"）。

• 采用稳定且持续至今。 近期的教学大纲列出的都是第二版（Springer，2015），包括下文提到的罗阿诺克学院、UT Tyler 和西肯塔基大学的课程，以及 TAMUC 2023年秋季的课程。因此，按本版小节编号编排的课程进度表很容易找到并照着使用。

局限

• 有意收窄的范围。 本书只讨论单个实变量的实值函数；序言说明全书不使用复数，也不打算成为完整的结果汇编。需要多元分析或参考书的学生须另找教材。
• 积分止步于勒贝格之前。 主要对象是黎曼积分；勒贝格判据只是一个专题，勒贝格积分仅在结语中概述，广义黎曼积分则作为第8章的教程出现。
• 度量空间只出现在专题中。 一般度量空间仅在第8章的一节中出现，因此希望一开始就讲授度量空间拓扑的课程会发现核心内容局限于实数轴。
• 对自学者的配套支持有限。 出版社把习题解答列为教师资源，而专题小节中许多关键论证有意留作习题。
• 这两份进度表都在第7章结束前停止。 下文"常见课程安排"中的两份进度表都止于7.3节，即黎曼积分一章的前段。因此，按其中任一进度学习的学生可能需要自行阅读第7章的其余部分。

在课程中的定位

在本课程书单中，Abbott 适合作为第一门严格的单变量分析课程的主教材。它在多所院校中承担这一角色，例如下文"常见课程安排"中的罗阿诺克学院、UT Tyler 和西肯塔基大学的课程。

两本更平易的书以不同方式为它做准备：

• Lara Alcock 的 How to Think About Analysis 被描述为一本讲解如何阅读定义、构造证明的学习指南。
• R. P. Burn 的 Numbers and Functions 通过循序渐进的问题引导读者走过同样的主题。

对于还没写过多少证明的学生，这两本书都适合在 Abbott 之前或同时阅读。

之后若要学习更全面、更形式化的内容，Bartle 与 Sherbert 的 Introduction to Real Analysis 和 Walter Rudin 的 Principles of Mathematical Analysis 是自然的下一步。Abbott 在序言中承认 Robert Bartle 的著作是全书的灵感来源，8.1节也以 Bartle 关于广义黎曼积分的文章为基础。序言还把本书定位为第二门课程的准备，那门课从更一般空间上的复值函数讲起，这正是更形式化的分析教材所处理的更广阔舞台；各章结语和第8章的度量空间一节可以起到桥梁作用。

如何使用本书

本书面向初次接触严格分析的本科生，属于 Springer 的 Undergraduate Texts in Mathematics 丛书，该丛书主要面向三、四年级学生。序言把扎实掌握单变量微积分列为唯一的先修要求，并指出线性代数课程带来的证明写作经验很有价值，但并非必需。

按照序言关于课程安排的建议（按12–14周的学期设计），一学期的计划如下：

• 核心： 第1–7章的主体小节，从完备性公理到微积分基本定理。
• 必要时删减： 第3章中，后续各章只依赖开集与闭集以及序列紧性；开覆盖意义下的紧性、完全集与连通集都可以略过，因为书中给出了介值定理的直接证明。
• 讨论小节： 即使课上不讲，也应阅读；这些小节不证明后文需要的定理，但会引入全书反复用到的例子（康托尔集、狄利克雷函数）。
• 专题： 选一两个完整做完；作者把它们用来代替期末考试，也作为小组作业。在第8章的各个主题中，8.5节傅里叶级数篇幅最长。

自学时，先尝试自己回答讨论小节中的问题再往下读，并把习题（包括摩尔法式的题目）当作检验理解的主要手段。由于解答只提供给教师，找学习伙伴或借助 Alcock 指南之类的辅助读物有助于检查证明。准备继续学习测度论的学生应仔细阅读第7章的结语和8.1节。

常见课程安排

有两份近期的教学大纲公布了针对第二版（2015）的小节级进度表。两者都按顺序讲授全书，并在7.3节左右停止。

• 罗阿诺克学院，MATH 381 A Real Analysis（2025年春季）：

  • 1.1–1.4 及 1.6
  • 2.1–2.7
  • 3.1–3.4
  • 4.1–4.5
  • 5.1–5.3
  • 6.1–6.6
  • 7.1–7.3

  对照序言列出的选学专题，这条路线纳入了第1章的专题（1.6），跳过了1.5；略去了其他专题小节（2.8、3.5、4.6、5.4、6.7）以及整个第8章。

• UT Tyler，MATH 3345 Real Analysis 1（2024年秋季）： 课程大纲承诺讲授第1–7章，"视时间允许部分或全部讲授"。每周进度为：

  • 1.1–1.6
  • 第2章
  • 第3章
  • 4.1–4.6
  • 5.1–5.4
  • 6.1–6.6
  • 7.1–7.3

  其中包括专题小节1.6、4.6（间断点集）和5.4（处处不可导函数）。

• 西肯塔基大学，MATH 503 Introduction to Analysis（2024年秋季）： 列出了第二版（ISBN-13 9781493927111），但未给出那么详细的逐周安排。

如果独自学习，这两份进度表都是合理的节奏参考：罗阿诺克学院的路线更精简，UT Tyler 的则加入了部分专题。请计划读过7.3节，以便学到微积分基本定理和勒贝格判据——上面的核心计划包含这些内容。

版本与阅读路线

本页列出的版本是 Springer 2015年出版的第二版精装本，ISBN 9781493927111；平装本与电子版的 ISBN 不同。上文引用的2023–2025年教学大纲用的正是这一版，因此其小节编号与本版一致。这些编号未必与第一版吻合，因为第二版对第一版做了重组：泰勒级数移入了第6章的核心内容，并新增了若干专题。

第2章（数列与级数）、第4章（函数极限与连续性）和第6章（函数列与函数项级数）构成一条从数列极限直通一致收敛的路线。进入函数列之前，先练习 epsilon 证明以及含量词命题的否定；借助讨论小节预测反例，再用估计而不只是看图像来验证。出版社的解答手册只提供给教师；书商提供的试读并不是全书的免费版本。