Understanding Analysis（理解分析）

引用

Abbott, S. (2015). Understanding Analysis (2nd ed.). Springer. Undergraduate Texts in Mathematics.

章節概要

每一章都以一節非正式的「討論」開篇，提出引發思考的問題。接著展開由定義與證明構成的精簡主體。最後是一節由習題推動論證的專題，以及一段簡短的結語。第8章則全部由專題構成。

第1章：實數

本章從 √2 的無理性談起，藉此說明為何需要更大的數系。在一些預備知識之後，本章提出完備性公理並推導其結論。章末討論基數與康托爾定理，包括實數集的不可數性。

第2章：數列與級數

開篇討論顯示，重新排列交錯調和級數的項會改變其和。這提醒讀者，有限情形下的算術不能直接搬到無窮和上。本章接著展開：

• 數列極限
• 代數極限定理與序極限定理
• 單調收斂定理
• 子數列與波爾查諾–魏爾斯特拉斯定理
• 柯西準則以及無窮級數的性質

專題涵蓋二重求和與級數乘積。

第3章：R 的基本拓樸

本章從長度為零卻不可數的康托爾集出發，討論開集與閉集、緊緻集、完全集與連通集，並以貝爾定理為專題。序言承認，這一章比後續各章實際所需的要長。

第4章：函數極限與連續性

藉由狄利克雷函數與托馬函數，本章審慎地定義函數極限。內容包括連續函數、緊緻集上的連續函數與中間值定理。專題追問：哪些集合可以成為某個函數的不連續點集。

第5章：導數

開篇討論以函數族 xⁿ sin(1/x) 為試金石，追問導數是否一定連續。本章證明導數具有中間值性質（達布定理），並展開均值定理。最後構造一個處處不可微的連續函數。

第6章：函數序列與函數級數

第二版新寫的開篇討論，敘述歐拉如何透過操作冪級數求出 1/n² 之和。本章討論：

• 均勻收斂，包括它與微分的關係
• 函數級數
• 冪級數與泰勒級數——第二版將泰勒級數移入本章的核心內容

最後以魏爾斯特拉斯逼近定理的專題作結。

第7章：黎曼積分

開篇討論追問：一旦將積分與求反導數分開，積分應如何定義。本章先給出積分定義，再討論含不連續點函數的積分及積分的基本性質，然後證明微積分基本定理。據序言所述，全章的主軸是以連續性刻畫可積函數。專題中的黎曼可積性勒貝格判準為這條主軸畫下句點。

第8章：補充主題

六個獨立的教程式小節：

• 廣義黎曼積分
• 度量空間與貝爾綱定理
• 歐拉求和
• 「發明」階乘函數（伽瑪函數，涉及瑕積分與積分號下微分）
• 傅立葉級數
• 由 Q 建構 R

核心概念

第1–2章：實數；數列與級數

• 完備性公理：每個有上界的非空實數集都有最小上界。這是將 R 與 Q 區分開來的性質。
• 基數：透過一對一對應比較無窮集合的大小，並由此引出康托爾定理。
• 波爾查諾–魏爾斯特拉斯定理：每個有界數列都有收斂的子數列。

第3–5章：拓樸、連續性與導數

• 緊緻集：其中任一數列都有收斂到該集合中某點之子數列的集合。第4章研究這類集合上的連續函數。
• 中間值定理：區間上的連續函數會取到其任兩個函數值之間的每一個值。
• 達布定理：導數即使不連續，也具有中間值性質。

第6–7章：函數序列與函數級數；黎曼積分

• 均勻收斂：函數序列在整個定義域上以同一速度收斂。在此條件下極限保持連續性，在附加假設下也保持可微性。
• 泰勒級數：由函數各階導數構成的冪級數，以及它何時確實收斂到原函數的問題。
• 微積分基本定理：連結積分與微分的兩部分定理。
• 勒貝格判準：有界函數黎曼可積，若且唯若其不連續點集為零測度集。

第8章：補充主題

• 廣義黎曼積分：由庫爾茨韋爾與亨斯托克提出的黎曼積分修正形式，能夠積分所有導函數。
• 度量空間：配備距離函數的集合，是更一般的貝爾綱定理的舞台。

評析

優點

• 先有問題，後有定理。 序言將目標定為聚焦那些賦予分析學魅力的問題：

  • 康托爾集是否包含無理數
  • 導數是否連續、是否可積
  • 光滑函數是否等於其泰勒級數

  Scott Sciffer 在澳洲數學會 Gazette 上評論了第一版。他特別提到為每章提供動機的討論小節，以及指向更深內容的結語。

• 為初學者撰寫的證明。 作者表示，他刻意以詳盡取代簡潔。多數證明都附有關於思路與相關定義的說明，常規論證則留作習題。出版社轉載的書評都稱讚其敘述：

  • D. Robbins 在 Choice（2015年10月）中稱其異常清晰。
  • Mark Hunacek 在 MAA Reviews（2015年6月）中稱本書是單變數大學部分析教科書中的「黃金標準」。

• 專題與修訂後的習題。 第二版在保留第一版約200題的基礎上新增約150題。其中包括摩爾法式的習題，要求學生判斷猜想真偽、尋找可能並不存在的例子。第二版另外新增三個專題：歐拉求和、魏爾斯特拉斯逼近定理與階乘函數。Ryszard Pawlak 在 zbMATH 上對第二版的評論將這種教學設計視為本書的突出特點。

• 便於取捨。 序言註明所有專題小節皆為選讀：1.6、2.8、3.5、4.6、5.4、6.7 以及整個第8章。序言指出後面的定理不依賴討論小節，並說明第3章中哪些部分是全書其餘內容所必需。近期的課程大綱在實務上展現了這種彈性：Roanoke College（2025年春季）略過大多數專題小節，UT Tyler（2024年秋季）則納入其中數節。兩者都在第7章進行到一半時結束（見下文〈常見課程進度〉）。

• 穩定且仍在使用。 下文〈常見課程進度〉中的 Roanoke、UT Tyler 與 Western Kentucky 課程，以及 TAMUC 2023年秋季的課程，都指定第二版（Springer，2015）。因此，依其小節編號編排的課程進度表很容易找到並跟上。

局限

• 刻意收窄的範圍。 本書只討論單一實變數的實值函數。序言說明全書不使用複數，也無意成為完整的結果彙編。需要多變數分析或參考書的學生須另尋教材。
• 積分止步於勒貝格之前。 主要對象是黎曼積分。勒貝格判準只是一個專題，勒貝格積分僅在結語中概述，廣義黎曼積分則作為第8章的教程出現。
• 度量空間只出現在專題中。 一般度量空間僅在第8章的一節中出現。希望一開始就講授度量空間拓樸的課程會發現核心內容侷限於實數線。
• 對自學者的配套支援有限。 出版社將習題解答手冊列為教師資源，而專題小節中許多關鍵論證刻意留作習題。
• 這兩份進度表在第7章結束前就停止。 下文的 UT Tyler 課程綱要雖以第1–7章為範圍，但它與 Roanoke 的進度表都止於7.3節，也就是黎曼積分一章的前段。因此，依照任一份進度表學習的學生，可能需要自行閱讀第7章其餘部分。

在課程中的定位

在本課程書單中，Abbott 適合作為第一門嚴格的單變數分析課程的主教材。下文〈常見課程進度〉所列的 Roanoke College、UT Tyler 與 Western Kentucky University 課程，都以它擔任這個角色。

兩本較平易的書以不同方式為它做準備：

• Lara Alcock 的 How to Think About Analysis 被描述為講解如何閱讀定義、建構證明的學習指南。
• R. P. Burn 的 Numbers and Functions 透過循序漸進的問題引導讀者走過同樣的主題。

對於尚未寫過多少證明的學生，這兩本書都適合在 Abbott 之前或同時閱讀。

之後若要學習更全面、更形式化的內容，Bartle 與 Sherbert 的 Introduction to Real Analysis 和 Walter Rudin 的 Principles of Mathematical Analysis 是自然的下一步。Abbott 在序言中承認 Robert Bartle 的著作是全書的靈感來源。8.1節也以 Bartle 關於廣義黎曼積分的文章為基礎。序言還將本書定位為第二門課程的準備，那門課處理更一般空間上的複值函數，這正是更形式化的分析教科書所處理的更廣闊舞台。各章結語與第8章的度量空間一節可以發揮橋梁作用。

如何使用本書

本書以初次接觸嚴格分析的大學部學生為對象。它屬於 Springer 的 Undergraduate Texts in Mathematics 叢書，該叢書主要面向三、四年級學生。序言將紮實掌握單變數微積分列為唯一的先修要求，並指出線性代數課程帶來的證明寫作經驗很有價值，但並非必要。

依照序言關於課程規劃的建議（以12–14週的學期設計），一學期的計畫如下：

• 核心： 第1–7章的主體小節，從完備性公理到微積分基本定理。
• 必要時刪減： 第3章中，後續各章只依賴開集與閉集以及序列緊緻性。開覆蓋意義下的緊緻性、完全集與連通集都可以略過，因為書中提供了中間值定理的直接證明。
• 討論小節： 即使課堂上不講，也應閱讀。這些小節不證明後文需要的定理，但會引入全書反覆用到的例子（康托爾集、狄利克雷函數）。
• 專題： 選一兩個完整做完。作者將它們用來取代期末考試，也作為小組作業。在第8章的各主題中，8.5節傅立葉級數篇幅最長。

自學時，先嘗試自己回答討論小節中的問題再往下讀，並把習題（包括摩爾法式的題目）當作檢驗理解的主要手段。由於解答只提供給教師，找學習夥伴或藉助 Alcock 指南之類的輔助讀物有助於檢查證明。準備繼續學習測度論的學生應仔細閱讀第7章的結語與8.1節。

常見課程進度

兩份近期的課程大綱公布了以第二版（2015）小節為單位的進度表。兩者都依書中順序推進，並在7.3節左右結束。

• Roanoke College，MATH 381 A Real Analysis（2025年春季）：

  • 1.1–1.4 與 1.6
  • 2.1–2.7
  • 3.1–3.4
  • 4.1–4.5
  • 5.1–5.3
  • 6.1–6.6
  • 7.1–7.3

  對照序言列出的選讀專題，這條路線納入第1章的專題（1.6）並略過1.5節。它省略其他專題小節（2.8、3.5、4.6、5.4、6.7）以及整個第8章。

• UT Tyler，MATH 3345 Real Analysis 1（2024年秋季）： 課程綱要承諾涵蓋第1–7章，「視時間許可講授部分或全部」。每週進度如下：

  • 1.1–1.6
  • 第2章
  • 第3章
  • 4.1–4.6
  • 5.1–5.4
  • 6.1–6.6
  • 7.1–7.3

  其中包括專題小節1.6、4.6（不連續點集）與5.4（處處不可微的函數）。

• Western Kentucky University，MATH 503 Introduction to Analysis（2024年秋季）： 列出第二版（ISBN-13 9781493927111），但逐週細節較少。

若你獨自學習，任一份進度表都是合理的步調範本。Roanoke 的路線較精簡，UT Tyler 的則加入部分專題。請計畫讀到7.3節之後，以讀到微積分基本定理與勒貝格判準，這兩者都屬於上述核心計畫。

版本與閱讀路線

這裡列出的是2015年第二版精裝本（ISBN 9781493927111；Springer 頁面）；平裝本與電子版的 ISBN 不同。上文各課程使用的也是第二版，因此小節編號可以直接對應。這些編號不一定與第一版相符，因為第二版重新編排了內容：泰勒級數移入第6章的核心，並新增了專題。

第2章（數列與級數）、第4章（函數極限與連續性）與第6章（函數序列與函數級數）構成一條從數列極限直通均勻收斂的路線。進入函數序列一章之前，先練習寫 epsilon 證明，並練習否定其中的量詞。用開篇討論預測反例，再以估計而非圖形加以驗證。出版社的解答手冊僅提供給教師；出版社提供的試讀內容並非完整的免費版本。