Understanding Analysis（解析学を理解する）

引用

Abbott, S. (2015). Understanding Analysis (2nd ed.). Springer. Undergraduate Texts in Mathematics.

章の要約

各章は、動機となる問いを投げかける打ち解けた「議論」の節で始まる。続いて、定義と証明からなる簡潔な本体を展開する。最後は、演習が議論を担うプロジェクトの節と短いエピローグで終わる。第8章は全体がプロジェクトで構成されている。

第1章：実数

√2 の無理性を、より大きな数の体系が必要になる理由として示すところから始まる。いくつかの準備を経て完備性公理を述べ、その帰結を引き出す。最後に濃度とカントールの定理を扱い、実数全体が非可算であることにも触れる。

第2章：数列と級数

導入の議論では、交代調和級数の項を並べ替えると和が変わることを示す。これは、有限の算術が無限和にはそのまま通用しないことへの警告である。続いて次の内容を展開する。

• 数列の極限
• 代数的極限定理と順序極限定理
• 単調収束定理
• 部分列とボルツァーノ–ワイエルシュトラスの定理
• コーシーの判定条件と無限級数の性質

プロジェクトでは二重和と級数の積を扱う。

第3章：R の基本的な位相

長さがゼロでありながら非可算であるカントール集合から出発する。開集合と閉集合、コンパクト集合、完全集合と連結集合を扱い、ベールの定理をプロジェクトとする。序文は、この章が後の章に厳密に必要な分量より長いことを認めている。

第4章：関数の極限と連続性

ディリクレの関数とトーマエの関数を手がかりに、関数の極限を慎重に定義する。連続関数、コンパクト集合上の連続関数、中間値の定理を扱う。プロジェクトでは、どのような集合が関数の不連続点の集合になりうるかを問う。

第5章：導関数

導入の議論は、導関数は必ず連続かという問いを、xⁿ sin(1/x) という関数族を試金石にして検討する。導関数が中間値の性質をもつこと（ダルブーの定理）を証明し、平均値の定理を展開する。最後に、いたるところ微分不可能な連続関数を構成する。

第6章：関数列と関数項級数

第2版で新しくなった導入の議論は、オイラーがべき級数を操作して 1/n² の和を求めた経緯を語る。章では次の内容を扱う。

• 一様収束（微分との関係を含む）
• 関数項級数
• べき級数とテイラー級数（第2版で章の中核に移された）

最後はワイエルシュトラスの近似定理のプロジェクトで締めくくる。

第7章：リーマン積分

導入の議論は、積分を原始関数から切り離したとき、それをどう定義すべきかを問う。積分を定義したうえで、不連続点をもつ関数の積分と基本的な性質を扱う。そのうえで微分積分学の基本定理を証明する。序文によれば、章を貫くテーマは積分可能な関数を連続性によって特徴づけることである。プロジェクトのリーマン可積分性に関するルベーグの判定条件で、そのテーマが完結する。

第8章：発展的な話題

独立したチュートリアル形式の6つの節からなる。

• 一般化リーマン積分
• 距離空間とベールのカテゴリー定理
• オイラーの和
• 階乗関数の創出（ガンマ関数。広義積分と積分記号下の微分を含む）
• フーリエ級数
• Q からの R の構成

主要概念

第1–2章：実数／数列と級数

• 完備性公理：上に有界な空でない実数の集合は必ず最小上界をもつという公理。R を Q から区別する性質である。
• 濃度：1対1対応によって無限集合の大きさを比べる考え方で、カントールの定理へとつながる。
• ボルツァーノ–ワイエルシュトラスの定理：有界な数列は必ず収束する部分列をもつ。

第3–5章：位相、連続性、導関数

• コンパクト集合：その中のどの数列も、集合内の点に収束する部分列をもつような集合。第4章ではこうした集合上の連続関数を調べる。
• 中間値の定理：区間上の連続関数は、任意の2つの値の間のすべての値をとる。
• ダルブーの定理：導関数は、連続でない場合でも中間値の性質をもつ。

第6–7章：関数列と関数項級数／リーマン積分

• 一様収束：定義域全体で同じ速さで関数が収束すること。この条件のもとで極限は連続性を保ち、追加の仮定があれば微分可能性も保つ。
• テイラー級数：関数の導関数から作られるべき級数と、それが実際に元の関数に収束するのはいつかという問い。
• 微分積分学の基本定理：積分と微分を結びつける2部構成の定理。
• ルベーグの判定条件：有界な関数がリーマン可積分であるのは、その不連続点の集合が測度ゼロであるときに限る。

第8章：発展的な話題

• 一般化リーマン積分：クルツヴァイルとヘンストックによるリーマン積分の修正で、すべての導関数を積分できる。
• 距離空間：距離関数を備えた集合で、より一般的なベールのカテゴリー定理の舞台となる。

批判的分析

長所

• 定理より先に問いがある。 序文は、解析学を魅力的にしている問いに焦点を当てることを目標に掲げる。たとえば次のような問いである。

  • カントール集合は無理数を含むか
  • 導関数は連続か、積分可能か
  • 滑らかな関数はそのテイラー級数に等しいか

  各章の冒頭の議論は、実際にこうした問いから始まる。Scott Sciffer はオーストラリア数学会の Gazette に初版の書評を寄せた。その中で、各章の動機づけとなる議論の節と、先の話題を指し示すエピローグを特に評価している。

• 初学者のために書かれた証明。 著者は、簡潔さを意図的に犠牲にして詳しさを優先したと述べている。ほとんどの証明には方針や関連する定義についての説明が添えられ、型どおりの議論は演習に回されている。出版社が転載する書評もその叙述を高く評価している。

  • Choice（2015年10月）の D. Robbins は、並外れて明快だと述べた。
  • MAA Reviews（2015年6月）の Mark Hunacek は、本書を1変数の学部向け解析学教科書の「ゴールドスタンダード」と呼んだ。

• プロジェクトと改訂された演習。 第2版では、初版から残した約200問に約150問の新しい演習が加わった。その中には、予想の真偽を判定させたり、存在しないかもしれない例を探させたりするムーア法型の演習も含まれる。さらに、オイラーの和、ワイエルシュトラスの近似定理、階乗関数という3つの新しいプロジェクトが加わった。Ryszard Pawlak は zbMATH の第2版の書評で、この教育的な構成を本書の際立った特徴として取り上げている。

• 調整しやすい。 序文は、すべてのプロジェクトの節（1.6、2.8、3.5、4.6、5.4、6.7、および第8章全体）を任意としている。また、後の定理が議論の節に依存しないことを明記し、第3章のうち本書の残りに必要な部分を説明している。この柔軟さは実際の授業でも活かされている。後述の Roanoke College の授業はプロジェクトの節の大半を省き、UT Tyler の授業はそのいくつかを取り入れている。どちらも第7章の途中で終わる（後述の「よくある授業での割り当て」を参照）。

• 安定した、現在も続く採用。 最近のシラバスに挙げられているのは第2版（Springer, 2015）である。後述の Roanoke College、UT Tyler、Western Kentucky University の授業に加え、TAMUC（2023年秋学期）もこの版を指定している。そのため、本書の節番号に対応した授業日程を見つけて、それに沿って学ぶのは容易である。

短所

• 意図的に狭い範囲。 本書が扱うのは1つの実変数の実数値関数だけである。序文は、複素数は一切使わないこと、また結果を網羅的に集めることは目指していないことを述べている。多変数の解析学や参照用の教科書が必要な学生には別の本が要る。
• 積分はルベーグの手前で止まる。 主な対象はリーマン積分である。ルベーグの判定条件はプロジェクトとして扱われ、ルベーグ積分はエピローグで概略が示されるだけである。一般化リーマン積分は第8章のチュートリアルとして登場する。
• 距離空間はプロジェクトのみ。 一般の距離空間は第8章の1節にしか現れない。最初から距離空間の位相を扱いたい授業にとっては、中核の内容が実数直線に限られることになる。
• 独習者向けの手厚い支援は少ない。 出版社は解答集を教員向けの資料としている。また、プロジェクトの節では多くの重要な議論が意図的に演習として残されている。
• 代表的な日程は第7章の終わりまで届かない。 後述の UT Tyler と Roanoke の日程は、どちらもリーマン積分の章の序盤である7.3節で終わる。そのため、どちらの日程に従う学生も、第7章の残りを自分で読む必要があるかもしれない。

コースにおける位置づけ

このコースのリストで、Abbott は1変数の解析学を初めて厳密に学ぶ授業の主教科書となる本である。後述の「よくある授業での割り当て」に挙げた Roanoke College、UT Tyler、Western Kentucky University の授業でも、実際にその役割を担っている。

より穏やかな2冊が、それぞれ別の形で本書への準備になる。

• Lara Alcock の How to Think About Analysis は、定義の読み方と証明の組み立て方を説く学習ガイドとされる。
• R. P. Burn の Numbers and Functions は、順序立てた問いによって同じ話題へ読者を導く。

まだ証明をあまり書いたことのない学生には、どちらも Abbott の前に、あるいは並行して読むのに適している。

そのあとでより包括的で形式的な扱いへ進むには、Bartle と Sherbert の Introduction to Real Analysis と Walter Rudin の Principles of Mathematical Analysis が自然な次の一歩である。Abbott の序文は、Robert Bartle の著作が本書全体の着想の源であったことを認めている。8.1節は、一般化リーマン積分に関する Bartle の論文に基づいている。序文はまた、本書を、より一般の空間上の複素数値関数を扱う2つ目の授業への準備と位置づけている。それはより形式的な解析学の教科書が扱う広い舞台であり、エピローグと第8章の距離空間の節がそこへの橋渡しになる。

本書の使い方

本書は厳密な解析学に初めて触れる学部生向けに書かれている。3・4年生を主な対象とする Springer の Undergraduate Texts in Mathematics シリーズの1冊である。序文は、1変数の微積分をしっかり理解していることを唯一の前提としている。線形代数の授業で得られる証明を書く経験は、貴重だが必須ではないとしている。

序文の授業構成の助言（12–14週の学期を想定）に沿った1学期の計画は次のとおりである。

• 中核： 第1–7章の本体の節。完備性公理から微分積分学の基本定理まで。
• 必要なら削る： 第3章のうち後の章が依存するのは、開集合と閉集合、点列コンパクト性だけである。中間値の定理には直接的な証明が用意されているので、開被覆によるコンパクト性や完全集合・連結集合は省略できる。
• 議論の節： 授業で扱わなくても読んでおくこと。後で必要になる定理は証明されないが、本書の残りで使われる例（カントール集合、ディリクレの関数）が導入される。
• プロジェクト： 1つか2つを選んで最後までやり通すとよい。著者はそれを期末試験の代わりやグループ課題として使っている。第8章の話題の中では、8.5節のフーリエ級数が最も長い。

独習では、議論の節の問いに自分で答えようとしてから先へ進むとよい。ムーア法型の問題を含む演習を、理解度の主な試金石とする。解答は教員向けなので、証明を確かめるには学習仲間や Alcock のガイドのような副読本が役立つ。測度論へ進む学生は、第7章のエピローグと8.1節を丁寧に読んでおきたい。

よくある授業での割り当て

最近の2つのシラバスが、第2版（2015年）について節単位の日程を公開している。どちらも本書を順に進め、7.3節前後で終わる。

• Roanoke College、MATH 381 A Real Analysis（2025年春学期）：

  • 1.1–1.4 と 1.6
  • 2.1–2.7
  • 3.1–3.4
  • 4.1–4.5
  • 5.1–5.3
  • 6.1–6.6
  • 7.1–7.3

  この道筋は第1章のプロジェクト（1.6）を含み、1.5を省いている。ほかのプロジェクトの節（2.8、3.5、4.6、5.4、6.7）と第8章全体は扱わない。

• UT Tyler、MATH 3345 Real Analysis 1（2024年秋学期）： 概要では、第1–7章を「時間の許す限り、一部または全部」扱うとしている。週ごとの日程は次のとおりである。

  • 1.1–1.6
  • 第2章
  • 第3章
  • 4.1–4.6
  • 5.1–5.4
  • 6.1–6.6
  • 7.1–7.3

  ここにはプロジェクトの節である1.6、4.6（不連続点の集合）、5.4（いたるところ微分不可能な関数）が含まれる。

• Western Kentucky University、MATH 503 Introduction to Analysis（2024年秋学期）： 第2版（ISBN-13 9781493927111）を挙げているが、週ごとの詳細は少ない。

独習する場合は、どちらの日程も進度の目安として妥当である。Roanoke の日程はより絞り込まれた道筋で、UT Tyler の日程はいくつかのプロジェクトを加えている。微分積分学の基本定理とルベーグの判定条件にたどり着くには、7.3節より先まで読む計画を立てること。これらは上記の中核の計画に含まれている。

版と読書の進め方

ここで取り上げるのは、Springer の2015年第2版ハードカバー（ISBN 9781493927111、Springer）である。ソフトカバーと電子版は別の ISBN を持つ。上で挙げた2023–2025年のシラバスが指定しているのもこの版なので、それらの節番号はこの版と一致する。一方、初版の節番号と一致するとは限らない。第2版では構成が改められ、テイラー級数が第6章の中核に移され、新しいプロジェクトが加えられたからである。

Sequences and Series、Functional Limits and Continuity、Sequences and Series of Functions という各単元をつなぐと、数列の極限から一様収束へまっすぐ進める。関数列の単元に入る前に、epsilon 証明を書く練習と、その量化子を否定する練習をしておこう。導入の議論から反例を予想し、図に頼るのではなく評価によって確かめるとよい。出版社の解答集は教員向けであり、販売サイトの試読は完全な無料版ではない。